Termination w.r.t. Q proof of TRS/nontermin/AG01#4.35.trs

Termination w.r.t. Q of the following Term Rewriting System could be proven:

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.

Using Dependency Pairs [1,13] we result in the following initial DP problem:
Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> AND₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> IF₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

    ↳ QDP

      ↳ DependencyGraphProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> AND₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> IF₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The approximation of the Dependency Graph [13,14,18] contains 2 SCCs with 5 less nodes.

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

    ↳ QDP

      ↳ DependencyGraphProof

        ↳ AND

          ↳ QDP

            ↳ QDPOrderProof

          ↳ QDP

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
none
Used ordering: Polynomial interpretation [21]:

POL(EQ₂(x₁, x₂)) = x₂
POL(apply₂(x₁, x₂)) = 1 + x₁ + x₂
POL(cons₂(x₁, x₂)) = 1 + x₁ + x₂
POL(lambda₂(x₁, x₂)) = 1 + x₁ + x₂
POL(var₁(x₁)) = 1 + x₁

The following usable rules [14] were oriented: none

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

    ↳ QDP

      ↳ DependencyGraphProof

        ↳ AND

          ↳ QDP

            ↳ QDPOrderProof

              ↳ QDP

                ↳ PisEmptyProof

          ↳ QDP

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

    ↳ QDP

      ↳ DependencyGraphProof

        ↳ AND

          ↳ QDP

          ↳ QDP

            ↳ QDPOrderProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be oriented strictly and are deleted.

REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The remaining pairs can at least be oriented weakly.
none
Used ordering: Polynomial interpretation [21]:

POL(REN₃(x₁, x₂, x₃)) = x₂ + x₃
POL(and₂(x₁, x₂)) = x₂
POL(apply₂(x₁, x₂)) = 1 + x₁ + x₂
POL(cons₂(x₁, x₂)) = 0
POL(eq₂(x₁, x₂)) = 0
POL(false) = 0
POL(if₃(x₁, x₂, x₃)) = 0
POL(lambda₂(x₁, x₂)) = 1 + x₁ + x₂
POL(nil) = 0
POL(ren₃(x₁, x₂, x₃)) = x₃
POL(true) = 0
POL(var₁(x₁)) = 0

The following usable rules [14] were oriented:

if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

    ↳ QDP

      ↳ DependencyGraphProof

        ↳ AND

          ↳ QDP

          ↳ QDP

            ↳ QDPOrderProof

              ↳ QDP

                ↳ PisEmptyProof

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.